(Ⅰ)求曲线y=xe—x在点(1,)处的切线方程; (Ⅱ)求曲线y=∫0x(t一1)(t一2)dt上点(0,0)处的切线方程; (Ⅲ)设曲线y=x2+ax+b和2y=一1+xy3在点(1,一1)处相切,求常数a,b.

admin2020-03-10  80

问题 (Ⅰ)求曲线y=xe—x在点(1,)处的切线方程;
    (Ⅱ)求曲线y=∫0x(t一1)(t一2)dt上点(0,0)处的切线方程;
    (Ⅲ)设曲线y=x2+ax+b和2y=一1+xy3在点(1,一1)处相切,求常数a,b.

选项

答案(Ⅰ)因为y’=(1一x)e—x,于是y’(1)=0.从而曲线y=xe—x在点(1,[*]). (Ⅱ)因y’(0)=[∫0x(t—1)(t一2)dt]’|x=0=(x—1)(x一2)|x=0=2,于是曲线在点(0,0)处的切线方程是y=2x. (Ⅲ)曲线y=x2+ax+b过点(1,一1),所以1+a+b=一1,在点(1,一1)处切线的斜率为 y’=(x2+ax+b)|x=0=2+a. 将方程2y=一1+xy3对x求导得2y’=y3+3xy2y’.由此知,该曲线在点(1,一1)处的斜率y’(1)满足2y’(1)=(一1)3+3y’(1),解出得y’(1)=1.因这两条曲线在点(1,一1)处相切,所以在该点它们切线的斜率相同,即2+a=1,即a=一1.再由1+a+b=一1得b=一2—a=一1.因此a=一1,b=一1.

解析
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