设A为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵Q，使得QTAQ=，又α=且A*α=α． (Ⅰ)求正交矩阵Q； (Ⅱ)求矩阵A．

admin2017-12-18 59

问题设A为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵Q，使得Q^TAQ=

，又α=

且A^*α=α．
(Ⅰ)求正交矩阵Q；
(Ⅱ)求矩阵A．

选项

答案(Ⅰ)显然A的特征值为λ₁=λ₂=－1，λ₃=2，A^*的特征值为μ₁=μ₂=－2，μ₃=1．因为α为A^*的属于特征值μ₃=1的特征向量，所以α是A的属于特征值λ₃=2的特征向量，令α= α₃．令A的属于特征值λ₁=λ₂=－1的特征向量为ξ=[*]，因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以－x₁－x₂+x₃=0，则A的属于特征值λ₁=λ₂=－1的线性无关的特征向量为[*] [*]

解析

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考研数学二

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设三阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3；矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别是α1=(-1，-1，1)T，α2=(1，-2，-1)T．求A的属于特征值3的特征向量．
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