设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)上可导，且f(0)=0，f(1)=2，证明：在开区间(0，1)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=2ξ+1成立。

admin2013-12-11 28

问题设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)上可导，且f(0)=0，f(1)=2，
证明：在开区间(0，1)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=2ξ+1成立。

选项

答案构造函数F(x)=f(x)-x²-x，函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)上可导，显然F(x)也在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)上可导，且F(0)=f(0)=0，F(1)=f(1)-1²-1=0，所以F(x)在区间[0，1]上二满足罗尔定理，所以在开区间(0，1)内至少存在一点ξ，使得F’(ξ)=0成立，又因F’(x)=f’(x)-2x-1，即有f’(ξ)=2ξ+1成立.

解析

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