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设函数f(χ)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(1)=0,求证至少存在一点ξ∈(0,1),使得(2ξ+1)f(ξ)+ξf′(ξ)=0.
设函数f(χ)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(1)=0,求证至少存在一点ξ∈(0,1),使得(2ξ+1)f(ξ)+ξf′(ξ)=0.
admin
2019-08-11
109
问题
设函数f(χ)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(1)=0,求证至少存在一点ξ∈(0,1),使得(2ξ+1)f(ξ)+ξf′(ξ)=0.
选项
答案
将欲证结论中的ξ换成χ得(2χ+1)f(χ)+χf′(χ)=0,即 [*] 上式两端求不定积分得ln|f(χ)|=-2χ-ln|χ|+ln|c|,即c=χe
2χ
f(χ),故可构造辅助函数F(χ)=χe
2χ
F(χ),则F(χ)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且 F(0)=0,F(1)=e
2
f(1)=0, 所以F(χ)在闭区间[0,1]上满足罗尔定理的条件,从而至少存在一点ξ∈(0,1),使得F′(ξ)=0, 故(2ξ+1)f(ξ)+ξf′(ξ)=0.
解析
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考研数学二
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