设函数f(χ)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(1)＝0，求证至少存在一点ξ∈(0，1)，使得(2ξ＋1)f(ξ)＋ξf′(ξ)＝0．

admin2019-08-11 110

问题设函数f(χ)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(1)＝0，求证至少存在一点ξ∈(0，1)，使得(2ξ＋1)f(ξ)＋ξf′(ξ)＝0．

选项

答案将欲证结论中的ξ换成χ得(2χ＋1)f(χ)＋χf′(χ)＝0，即 [*] 上式两端求不定积分得ln｜f(χ)｜＝－2χ－ln｜χ｜＋ln｜c｜，即c＝χe^2χf(χ)，故可构造辅助函数F(χ)＝χe^2χF(χ)，则F(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且 F(0)＝0，F(1)＝e²f(1)＝0，所以F(χ)在闭区间[0，1]上满足罗尔定理的条件，从而至少存在一点ξ∈(0，1)，使得F′(ξ)＝0，故(2ξ＋1)f(ξ)＋ξf′(ξ)＝0．

解析

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