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设f(x)在闭区间[a,b]上连续,常数k>0.并设φ(x)=∫xbf(t)dt-k∫axf(t)dt, 证明: 存在ξ∈[a,b]使φ(ξ)=0;
设f(x)在闭区间[a,b]上连续,常数k>0.并设φ(x)=∫xbf(t)dt-k∫axf(t)dt, 证明: 存在ξ∈[a,b]使φ(ξ)=0;
admin
2018-07-23
119
问题
设f(x)在闭区间[a,b]上连续,常数k>0.并设φ(x)=∫
x
b
f(t)dt-k∫
a
x
f(t)dt,
证明:
存在ξ∈[a,b]使φ(ξ)=0;
选项
答案
由题设易知φ(a)=∫
a
b
f(t)dt,φ(b)=-k∫
a
b
f(t)dt, φ(a)φ(b)=-k[∫
a
b
f(t)dt]
2
≤0. 如果∫
a
b
=0,则φ(a)φ(b)=0.取ξ=a或ξ=b,使φ(ξ)=0.如果∫
a
b
f(t)dt≠0,则φ(a)φ(b)<0,存在ξ∈(a,b)使φ(ξ)=0.综上,存在ξ∈[a,b]使φ(ξ)=0.
解析
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考研数学二
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