设f(x)在闭区间[a，b]上连续，常数k>0．并设φ(x)=∫xbf(t)dt－k∫axf(t)dt，证明：存在ξ∈[a，b]使φ(ξ)=0；

admin2018-07-23 85

问题设f(x)在闭区间[a，b]上连续，常数k>0．并设φ(x)=∫_x^bf(t)dt－k∫_a^xf(t)dt，
证明：
存在ξ∈[a，b]使φ(ξ)=0；

选项

答案由题设易知φ(a)=∫_a^bf(t)dt，φ(b)=－k∫_a^bf(t)dt， φ(a)φ(b)=－k[∫_a^bf(t)dt]²≤0．如果∫_a^b=0，则φ(a)φ(b)=0．取ξ=a或ξ=b，使φ(ξ)=0．如果∫_a^bf(t)dt≠0，则φ(a)φ(b)<0，存在ξ∈(a，b)使φ(ξ)=0．综上，存在ξ∈[a，b]使φ(ξ)=0．

解析

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