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（2005年真题）设连续函数y=f(x)在[0，a]内严格单调递增，且f(0)=0，f(a)=a，若g(x)是f(x)的反函数，则∫0a[f(x)+g(x)]dx=[ ]。
（2005年真题）设连续函数y=f(x)在[0，a]内严格单调递增，且f(0)=0，f(a)=a，若g(x)是f(x)的反函数，则∫0a[f(x)+g(x)]dx=[ ]。
admin
2015-04-14
64
问题
（2005年真题）设连续函数y=f(x)在[0，a]内严格单调递增，且f(0)=0，f(a)=a，若g(x)是f(x)的反函数，则∫
0
a
[f(x)+g(x)]dx=[ ]。
选项
A、f
2
(a)+g
2
(a)
B、f
2
(a)
C、2∫
0
a
f(x)dx
D、2∫
0
a
g(x)dx
答案
B
解析
本题考查函数与其反函数的关系及定积分的几何意义。
解法1
若g(x)是f(x)的反函数，则曲线g(x)与f(x)关于y=x对称，如图4．7(a)与(b)所示。
由y=f(x)在[0，a]内严格单调递增，且f(0)=0可得在[0，a]内f(x)≥0与g(x)>10。由定积分的几何意义，∫
0
a
f(x)dx等于图4．7(a)所示阴影部分曲边三角形的面积，∫
0
a
f(x)dx等于图4．7(b)所示阴影部分曲边三角形的面积。又图4．7(a)中曲边形OCO的面积等于图4．7(b)中曲边形OCO的面积，从而∫
0
a
[f(x)+g(x)]dx等于图4．7(b)直角三角形OaC(或图4．7(a)直角三角形OaC)面积2倍，即∫
0
a
[f(x)+g(x)]dx=2×
×f(a)=a×f(a)=f
2
(a)。故正确选项为B。
解法2
特殊值代入法。设
，则f(x)满足题设条件，其反函数为
，因此
=a
2
=f
2
(a)。
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GCT工程硕士（数学）题库专业硕士分类
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GCT工程硕士（数学）
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