（2005年真题）设连续函数y=f(x)在[0，a]内严格单调递增，且f(0)=0，f(a)=a，若g(x)是f(x)的反函数，则∫0a[f(x)+g(x)]dx=[ ]。

admin2015-04-14 115

问题（2005年真题）设连续函数y=f(x)在[0，a]内严格单调递增，且f(0)=0，f(a)=a，若g(x)是f(x)的反函数，则∫₀^a[f(x)+g(x)]dx=[ ]。

选项 A、f²(a)+g²(a)
B、f²(a)
C、2∫₀^af(x)dx
D、2∫₀^ag(x)dx

答案B

解析本题考查函数与其反函数的关系及定积分的几何意义。
解法1
若g(x)是f(x)的反函数，则曲线g(x)与f(x)关于y=x对称，如图4．7(a)与(b)所示。

由y=f(x)在[0，a]内严格单调递增，且f(0)=0可得在[0，a]内f(x)≥0与g(x)>10。由定积分的几何意义，∫₀^af(x)dx等于图4．7(a)所示阴影部分曲边三角形的面积，∫₀^af(x)dx等于图4．7(b)所示阴影部分曲边三角形的面积。又图4．7(a)中曲边形OCO的面积等于图4．7(b)中曲边形OCO的面积，从而∫₀^a[f(x)+g(x)]dx等于图4．7(b)直角三角形OaC(或图4．7(a)直角三角形OaC)面积2倍，即∫₀^a[f(x)+g(x)]dx=2×