若y1,y2是二阶非齐次线性微分方程(1)的两个不同的特解,证明: y〞+P(x)yˊ+Q(x)y=f(x) (1) (1)y1,y2是线性无关的; (2)对任意实数λ,y=λy1+(1-λ)y2是方程(1)的解.

admin2020-03-10  42

问题 若y1,y2是二阶非齐次线性微分方程(1)的两个不同的特解,证明:
y〞+P(x)yˊ+Q(x)y=f(x)    (1)
    (1)y1,y2是线性无关的;
    (2)对任意实数λ,y=λy1+(1-λ)y2是方程(1)的解.

选项

答案证: 设微分方程为y〞+P(x)yˊ+Q(x)y=f(x). (1)因为y1,y2是方程的特解,则有 y〞1+P(x)yˊ1+Q(x)y1=f(x), ① y〞2+P(x)yˊ2+Q(x)y2=f(x), ② 假定y1,y2线性相关,则y1/y2=k,k为常数,将y1=ky2代入①式, k[y〞2+P(x)yˊ2+Q(x)y2]=f(x)=kf(x),f(x)≠0,故k=1,y1=y2与已知矛盾,所以y1,y2是线性无关的. (2)y1,y2是非齐次方程的解,且y1≠y2,则y1-y2是对应齐次方程,即y〞+P(x)yˊ+Q(x)y=0的一个解 y=λy1+(1-λ)y2=λ(y1-y2)+y2, 由非齐次方程解的结构知y=λy1+(1-λ)y2是y〞+P(x)+Q(x)y=f(x)的解.

解析
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