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若y1,y2是二阶非齐次线性微分方程(1)的两个不同的特解,证明: y〞+P(x)yˊ+Q(x)y=f(x) (1) (1)y1,y2是线性无关的; (2)对任意实数λ,y=λy1+(1-λ)y2是方程(1)的解.
若y1,y2是二阶非齐次线性微分方程(1)的两个不同的特解,证明: y〞+P(x)yˊ+Q(x)y=f(x) (1) (1)y1,y2是线性无关的; (2)对任意实数λ,y=λy1+(1-λ)y2是方程(1)的解.
admin
2020-03-10
94
问题
若y
1
,y
2
是二阶非齐次线性微分方程(1)的两个不同的特解,证明:
y〞+P(x)yˊ+Q(x)y=f(x) (1)
(1)y
1
,y
2
是线性无关的;
(2)对任意实数λ,y=λy
1
+(1-λ)y
2
是方程(1)的解.
选项
答案
证: 设微分方程为y〞+P(x)yˊ+Q(x)y=f(x). (1)因为y
1
,y
2
是方程的特解,则有 y〞
1
+P(x)yˊ
1
+Q(x)y
1
=f(x), ① y〞
2
+P(x)yˊ
2
+Q(x)y2=f(x), ② 假定y
1
,y2线性相关,则y
1
/y
2
=k,k为常数,将y
1
=ky
2
代入①式, k[y〞
2
+P(x)yˊ
2
+Q(x)y
2
]=f(x)=kf(x),f(x)≠0,故k=1,y
1
=y
2
与已知矛盾,所以y
1
,y
2
是线性无关的. (2)y
1
,y
2
是非齐次方程的解,且y
1
≠y
2
,则y
1
-y
2
是对应齐次方程,即y〞+P(x)yˊ+Q(x)y=0的一个解 y=λy
1
+(1-λ)y
2
=λ(y
1
-y
2
)+y
2
, 由非齐次方程解的结构知y=λy
1
+(1-λ)y
2
是y〞+P(x)+Q(x)y=f(x)的解.
解析
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考研数学三
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