2. 考研
  3. 若y1，y2是二阶非齐次线性微分方程(1)的两个不同的特解，证明： y〞＋P(x)yˊ＋Q(x)y＝f(x) (1) (1)y1，y2是线性无关的； (2)对任意实数λ，y＝λy1＋(1－λ)y2是方程(1)的解．

若y1，y2是二阶非齐次线性微分方程(1)的两个不同的特解，证明： y〞＋P(x)yˊ＋Q(x)y＝f(x) (1) (1)y1，y2是线性无关的； (2)对任意实数λ，y＝λy1＋(1－λ)y2是方程(1)的解．

admin2020-03-10  100
问题 若y1，y2是二阶非齐次线性微分方程(1)的两个不同的特解，证明：
y〞＋P(x)yˊ＋Q(x)y＝f(x)    (1)
    (1)y1，y2是线性无关的；
    (2)对任意实数λ，y＝λy1＋(1－λ)y2是方程(1)的解．
选项
答案证： 设微分方程为y〞＋P(x)yˊ＋Q(x)y＝f(x)． (1)因为y1，y2是方程的特解，则有 y〞1＋P(x)yˊ1＋Q(x)y1＝f(x)， ① y〞2＋P(x)yˊ2＋Q(x)y2＝f(x)， ② 假定y1，y2线性相关，则y1／y2＝k，k为常数，将y1＝ky2代入①式， k[y〞2＋P(x)yˊ2＋Q(x)y2]＝f(x)＝kf(x)，f(x)≠0，故k＝1，y1＝y2与已知矛盾，所以y1，y2是线性无关的． (2)y1，y2是非齐次方程的解，且y1≠y2，则y1－y2是对应齐次方程，即y〞＋P(x)yˊ＋Q(x)y＝0的一个解 y＝λy1＋(1－λ)y2＝λ(y1－y2)＋y2， 由非齐次方程解的结构知y＝λy1＋(1－λ)y2是y〞＋P(x)＋Q(x)y＝f(x)的解．
解析
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考研数学三

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