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  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32一2x1x2—2x1x3+2ax2x3通过正交变换化为标准形2y12+2y22+by32。 求常数a，b及所用的正交变换矩阵Q；

设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32一2x1x2—2x1x3+2ax2x3通过正交变换化为标准形2y12+2y22+by32。 求常数a，b及所用的正交变换矩阵Q；

admin2018-02-07  55
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32一2x1x2—2x1x3+2ax2x3通过正交变换化为标准形2y12+2y22+by32。
求常数a，b及所用的正交变换矩阵Q；
选项
答案二次型矩阵及其对应的标准形矩阵分别为 [*] 由矩阵B可知矩阵A的特征值为2，2，b。由矩阵A的迹tr(A)=3=2+2+b可得b=一1。 由于2是A的二重特征值，而实对称矩阵A必可相似对角化，所以矩阵A的对应于特征值2的线性无关的特征向量有两个。于是矩阵2E一A的秩为1，而 2E－A=[*]， 所以a=一1。 由(λiE—A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ1=λ2=2和λ3=一1对应的特征向量分别为 α1=(1，0，一1)T，α2=(0，1，一1)T，α3=(1，1，1)T， 由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以先将α1，α2正交化，即 β1=α1=(1，0，一1)T，β2=α2一[*](一1，2，一1)T， 再将β1，β2，α3单位化，即 [*]
解析
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考研数学二

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