证明：若f(x)在[a，b]上无界，则函数f(x)在[a，b]上不可积．

admin2022-11-23 25

问题证明：若f(x)在[a，b]上无界，则函数f(x)在[a，b]上不可积．

选项

答案用反证法．设f(x)在[a，b]上可积，则[*]，只要‖T‖＜δ，就有 [*] 由于f(x)在[a，b]上无界，则对某一分割T₀，f(x)必在某小区间[x_k-1，x_k]上无界，即[*]M＞0，[*]ξ_k∈[x_k-1，x_k]，s．t．｜f(ξ_k)｜＞M．则 [*] 由于f(x)可积时，积分和的极限为常数．从而推出矛盾．即函数f(x)在[a，b]上不可积．

解析

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