设3阶矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=3，对应的特征向量依次为 ξ1=，ξ2，ξ3=，又向量β= (1)将β用ξ1，ξ2，ξ3线性表出； (2)求Anβ(n为正整数)．

admin2019-02-23 44

问题设3阶矩阵A的特征值为λ₁=1，λ₂=2，λ₃=3，对应的特征向量依次为
ξ₁=

，ξ₂

，ξ₃=

，又向量β=

(1)将β用ξ₁，ξ₂，ξ₃线性表出；
(2)求Aⁿβ(n为正整数)．

选项

答案(1)设β=x₁ξ₁+x₂ξ₂+x₃ξ₃，得线性方程组[*]，解此方程组得x₁=2，x₂=-2，x₃=1，故β=2ξ₁-2ξ₂+ξ₃． (2)Aⁿβ=Aⁿ(2ξ₁-2ξ₂+ξ₃)=2Aⁿξ₁-2Aⁿξ₂+Aⁿξ₃，由于Aξ_i=λ_iξ_i，Aⁿξ_i=λ_iⁿξ_iⁿξ_i，i=1，2，3 故Aⁿβ=2λ₁ⁿξ₁-2λ₂ⁿξ₂+λ₃ⁿξ₃ [*]

解析

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