已知齐次方程组(Ⅰ)解都满足方程χ1+χ2+χ3=0,求a和方程组的通解.

admin2016-10-21  24

问题 已知齐次方程组(Ⅰ)解都满足方程χ1+χ2+χ3=0,求a和方程组的通解.

选项

答案求出(Ⅰ)的解,代入χ1+χ2+χ3=0,决定a. 用矩阵消元法,设系数矩阵为A, A=[*]=B. 当a=0时,(Ⅰ)和方程χ1+χ2+χ4=0同解,以χ2,χ3,χ4为自由未知量求出一个基础解系 η1=(-1,1,0,0)T,η2=(0,0,1,O)T,η3=(-1,0,0,1)T. 其中η1,η2都不是χ1+χ2+χ3=0,的解,因此a=0不合要求. 当a≠0时,继续对B进行初等行变换 [*] 以χ4为自由未知量,得基础解系η=(a-1,-a,[*],1)T.代入χ1+χ2+χ3=0, (a-1)+(-a)+[*]=0, 求得a=1/2.即当a=1/2时,η适合χ1+χ2+χ3=0,从而(Ⅰ)的解都满足χ1+χ2+χ3=0.当a≠1/2时,η不满足χ1+χ2+χ3=0. 得a=1/2为所求.此时,方程组的通解为c(-1/2,-1/2,1,1)T,c可取任何常数.

解析
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