求二元函数z＝f(x，y)＝x2y(4－x－y)在直线x＋y＝6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值和最小值．

admin2011-11-19 104

问题求二元函数z＝f(x，y)＝x²y(4－x－y)在直线x＋y＝6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值和最小值．

选项

答案先求函数在D内的驻点，解方程组[*] 得x＝0，(0≤y≤6)，及点(4，0)，(2，1)．故在D内有唯一驻点(2，1)，在该点处f(2，1)＝4 再求f(x，y)在D的边界上的最值．在边界x＝0(0≤y≤6)和y＝0(0≤x≤6)上f(x，y)＝0 在边界x＋y＝6上，y＝6－x，代入f(x，y)中，得 f(x，y)＝x²(6－x)(－2)＝2x²(x－6) fˊ_x＝4x(x－6)＋2x²＝6x²－24x＝0 解得 x＝0，x＝4，故 y＝6－x｜_x＝4 ＝2 f(4，2)＝x²y(4－x－y²)｜_(4，2) ＝－64 比较后可知f(2，1)＝4为最大值，f(4，2)＝－64为最小值．

解析

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考研数学三

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求二元函数z＝f(x，y)＝x2y(4－x－y)在直线x＋y＝6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值和最小值．

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