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设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维线性无关列向量，且满足 Aα1=α1+2α2+α3，A(α1+α2)=2α1+α2+α3，A(α1+α2+α3)=α1+α2+2α3，则|A|=____________．
设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维线性无关列向量，且满足 Aα1=α1+2α2+α3，A(α1+α2)=2α1+α2+α3，A(α1+α2+α3)=α1+α2+2α3，则|A|=____________．
admin
2019-08-11
70
问题
设A是3阶矩阵，α
1
，α
2
，α
3
是3维线性无关列向量，且满足
Aα
1
=α
1
+2α
2
+α
3
，A(α
1
+α
2
)=2α
1
+α
2
+α
3
，A(α
1
+α
2
+α
3
)=α
1
+α
2
+2α
3
，则|A|=____________．
选项
答案
一4
解析
方法一 由题设条件
Aα=α
1
+2α
2
+α
3
，A(α
1
+α
2
)=2α
1
+α
2
+α
3
，A(α
1
+α
2
+α
3
)=α
1
+α
2
+2α
3
，
故
两边取行列式，得
因α
1
，α
2
，α
3
线性无关，所以|[α
1
，α
2
，α
3
]|≠0，又
故有
方法二 Aα
1
=α
1
+2α
2
+α
3
，A(α
1
+α
2
)=2α
1
+α
2
+α
3
，
故 Aα
2
=A(α
1
+α
2
)一Aα
1
=α
1
—α
2
，
A(α
1
+α
2
+α
3
)=α
1
+α
2
+2α
3
，
Aα
3
=A(α
1
+α
2
+α
3
)-A(α
1
+α
2
)=α
3
一α
1
，
故 [Aα
1
，Aα
2
，Aα
3
]=A[α
1
，α
2
，α
3
]=[α
1
+2α
2
+α
3
，α
1
一α
2
，α
3
一α
1
]
两边取行列式，因|[α
1
，α
2
，α
3
]|≠0，则
或P=[α
1
，α
2
，α
3
]可逆，得
相似矩阵有相同的行列式，故
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