2. 考研
  3. 设函数u(x，y)有连续二阶偏导数，满足，又满足下列条件：u(x，2x)=x，u’x(x，2x)=x(即u’x(x，y)｜y=2x=x2)，求u’’xx(x，2x)，u’’xy(x，2x)，u’’yy(x，2x)．

设函数u(x，y)有连续二阶偏导数，满足，又满足下列条件：u(x，2x)=x，u’x(x，2x)=x(即u’x(x，y)｜y=2x=x2)，求u’’xx(x，2x)，u’’xy(x，2x)，u’’yy(x，2x)．

admin2018-06-27  83
问题 设函数u(x，y)有连续二阶偏导数，满足，又满足下列条件：u(x，2x)=x，u’x(x，2x)=x(即u’x(x，y)｜y=2x=x2)，求u’’xx(x，2x)，u’’xy(x，2x)，u’’yy(x，2x)．
选项
答案将u(x，2x)=x两边对x求导，由复合函数求导法及u’x(x，2x)=x2得 u’x(x，2x)+2u’y(x，2x)=1，u’y(x，2x)=[*](1-x2)． 现将u’x(x，2x)=x2，u’y(x，2x)=(1-x2)分别对x求导得 u’’x(x，2x)+2u’’xy(x，2x)=2x， ① u’’yx(x，2x)+2u’’yy(x，2x)=-x． ② ①式×2-②式，利用条件u’’xx(x，2x)-u’’yy(x，2x)=0及u’’xy(x，2x)=u’’yx(x，2x)得 3u’’xy(x，2x)=5x，u’’xy(x，2x)=[*] 代入①式得u’’xx(x，2x)=u’’yy(x，2x)=[*]
解析
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考研数学二

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