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已知线性方程组 在方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系，并用它表示方程组的全部解。

admin2015-09-14  53
问题 已知线性方程组

在方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系，并用它表示方程组的全部解。
选项
答案当a=1，b=3时，有 [*] 由此即得方程组的用自由未知量表示的通解为 [*] 令x3=x4=x5=0，得原方程组的一个特解为η*=(一2，3，0，0，0)T在(*)式中令常数项均为零，则得原方程组的导出组的用自由未知量表示的通解为 [*] 由此即得导出组的一个基础解系为ξ1=(1，一2，1，0，0)T，ξ2=(1，一2，0，1，0)T，ξ3=(5，一6，0，0，1)T所以，原方程组的全部解(其中x=(x1，x2，x3，x4，x5)T)为x=η*+k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3(k1，k2，k3为任意常数)
解析 本题综合考查非齐次方程组和齐次方程组解的理论与求解。注意，在非齐次方程组有无穷多解时，首先正确求出用自由未知量表示的通解(即(*)式)是关键，(*)式当然也可看作原方程组的同解方程组，因此当令其中的常数项全为0时，也就得到了导出组的用自由未知量表示的通解(即(**)式)，当然(**)式也是求导出组的基础解系的基础。另外，求原方程组的用导出组的基础解系表示的通解的另一方法是：将(*)式先写成参数形式的通解，再写成向量形式，即得所求通解为

这显然和前边解法所得结果相同，导出组的基础解系也从中得到了。
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考研数学三

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