已知线性方程组 在方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系,并用它表示方程组的全部解。

admin2015-09-14  29

问题 已知线性方程组

在方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系,并用它表示方程组的全部解。

选项

答案当a=1,b=3时,有 [*] 由此即得方程组的用自由未知量表示的通解为 [*] 令x3=x4=x5=0,得原方程组的一个特解为η*=(一2,3,0,0,0)T在(*)式中令常数项均为零,则得原方程组的导出组的用自由未知量表示的通解为 [*] 由此即得导出组的一个基础解系为ξ1=(1,一2,1,0,0)T,ξ2=(1,一2,0,1,0)T,ξ3=(5,一6,0,0,1)T所以,原方程组的全部解(其中x=(x1,x2,x3,x4,x5)T)为x=η*+k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3(k1,k2,k3为任意常数)

解析 本题综合考查非齐次方程组和齐次方程组解的理论与求解。注意,在非齐次方程组有无穷多解时,首先正确求出用自由未知量表示的通解(即(*)式)是关键,(*)式当然也可看作原方程组的同解方程组,因此当令其中的常数项全为0时,也就得到了导出组的用自由未知量表示的通解(即(**)式),当然(**)式也是求导出组的基础解系的基础。另外,求原方程组的用导出组的基础解系表示的通解的另一方法是:将(*)式先写成参数形式的通解,再写成向量形式,即得所求通解为

这显然和前边解法所得结果相同,导出组的基础解系也从中得到了。
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