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(91年)设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明A+E的行列式大于1.
(91年)设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明A+E的行列式大于1.
admin
2017-04-20
80
问题
(91年)设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明A+E的行列式大于1.
选项
答案
因为A是正定阵,故存在正交阵Q,使 [*] 其中λ
i
>0(i=1,2,…,n)是A的特征值.因此 Q
T
(A+E)Q=Q
T
AQ+Q
T
Q [*] 在上式两端取行列式,得 [*]=|Q
T
(A+E)Q|=|Q
T
||A+E||Q|=|A+E| 从而 |A+E|>1.
解析
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考研数学一
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