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  3. [2005年] 设f(x)=xsinx+cosx，下面命题中正确的是( )．

[2005年] 设f(x)=xsinx+cosx，下面命题中正确的是( )．

admin2021-01-25  45
问题 [2005年]  设f(x)=xsinx+cosx，下面命题中正确的是(    )．
选项 A、f(0)是极大值，f(π／2)是极小值
B、f(0)是极小值，f(π／2)是极大值
C、f(0)是极大值，f(π／2)也是极大值
D、f(0)是极小值，f(π／2)也是极小值
答案B
解析 解一  因f(x)在[0，π／2]上可导且f’(x)=xcosx＞0在[0，π／2]上成立，故f(x)在[0，π／2]上单调增加，则f(0)＜f’(x)＜f(π／2)，即f(0)是极小值，f(π／2)是极大值．仅(B)入选．
    解二  先求出f’(x)，f"(x)，找出驻点，再用二阶导数判别之．
    由于f’(x)=sinx+xcosx－sinx=xcosx，f"(x)=cosx-xsinx，f’(0)=f’(π／2)=0，其驻点为0，π／2(观察选项，其他驻点省略)．又因f"(0)=1＞0，f"(π／2)=－π／2＜0，故f(x)在=0处取得极小值，在x=π／2处取得极大值．仅(B)入选．
    解三  因函数f(x)可导，先由极值存在的必要条件求出驻点，再用一阶导数判别法判别函数在有关驻点上是取极大值还是取极小值．
                 f’(0)=xcosx｜x=0=0，
且f’(x)=xcosx；在x0=0的左半邻域(x0－δ1，x0)=(－δ1，0)(δ1＞0)，f’(x)＜0，在x0=0的右半邻域(x0，－x0+δ)=(0，δ)(δ＞0)，f’(x)＞0．因而f’(x)在x0=0的左半邻域与右半邻域改变符号，且由负变正，则x0=0为f(x)的极小值点，即f(0)为极小值．同法，可证f(π／2)是f(x)的极大值．仅(B)入选．
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考研数学三

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