设D=为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵． (Ⅰ)计算PTDP，其中 (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果判断矩阵B－CTA－1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

admin2019-06-25 55

问题设D=

为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵．
(Ⅰ)计算P^TDP，其中

(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果判断矩阵B－C^TA^－1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

选项

答案(Ⅰ)因P^T [*] 有P^TDP [*] (Ⅱ)矩阵B－C^TA^－1C是正定矩阵．证明如下：由(Ⅰ)的结果可知，矩阵D合同于矩阵 [*] 又D为正定矩阵，可知矩阵M为正定矩阵．因矩阵M为对称矩阵，故B－C^TA^－1C为对称矩阵．对X=[*]及任意的Y=(y₁，y₂，…，y_n)^T≠0，由M正定，有 [*] 即Y^T(B－C^TA^－1C)Y＞0．故B－C^TA^－1C为正定矩阵．

解析

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考研数学三

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