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设D=为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵. (Ⅰ)计算PTDP,其中 (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果判断矩阵B-CTA-1C是否为正定矩阵,并证明你的结论.
设D=为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵. (Ⅰ)计算PTDP,其中 (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果判断矩阵B-CTA-1C是否为正定矩阵,并证明你的结论.
admin
2019-06-25
55
问题
设D=
为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵.
(Ⅰ)计算P
T
DP,其中
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果判断矩阵B-C
T
A
-1
C是否为正定矩阵,并证明你的结论.
选项
答案
(Ⅰ)因P
T
[*] 有P
T
DP [*] (Ⅱ)矩阵B-C
T
A
-1
C是正定矩阵.证明如下: 由(Ⅰ)的结果可知,矩阵D合同于矩阵 [*] 又D为正定矩阵,可知矩阵M为正定矩阵. 因矩阵M为对称矩阵,故B-C
T
A
-1
C为对称矩阵.对X=[*]及任意的Y=(y
1
,y
2
,…,y
n
)
T
≠0,由M正定,有 [*] 即Y
T
(B-C
T
A
-1
C)Y>0.故B-C
T
A
-1
C为正定矩阵.
解析
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考研数学三
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