设二次型为f=x12+2x22+6x32+2x1x2+2x1x3+6x2x3。证明二次型的对应矩阵A为正定矩阵，并求可逆矩阵U，使得A=UTU。

admin2019-01-26 39

问题设二次型为f=x₁²+2x₂²+6x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+6x₂x₃。
证明二次型的对应矩阵A为正定矩阵，并求可逆矩阵U，使得A=U^TU。

选项

答案由上题得，二次型的标准形为f=y₁²+y₂²+y₃²，其系数全为正，所以二次型正定，即二次型的对应矩阵A为正定矩阵。方法一：由上题知 [*] 其中 [*] 方法二：由题干得，二次型f=x^TAx的对应矩阵为[*] 由上题知，f=x^TAx=y^TC^TACy=y^Ty，所以C^TAC=E，A=(C^－1)^TC^－1=U^TU，其中U=C^－1。 [*] 故[*]

解析

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