设a=(a1，a2，…，an)T，a1≠0，A=aaT，求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量．

admin2016-05-31 51

问题设a=(a₁，a₂，…，a_n)^T，a₁≠0，A=aa^T，
求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量．

选项

答案设λ₁=α^Tα，λ₂=…=λ_n=0．因为Aα=αα^Tα=(α^Tα)α=λ₁α，所以p₁=α是对应于λ₁=α^Tα的特征向量．对于λ₂=…=λ_n=0，解方程Ax=0，即αα^Tx=0．已知α≠0，因此α^Tx=0，即a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n=0，所以其余(n-1)个线性无关特征向量为 p₂=(-a₂，a₁，0，…，0)^T， p₃=(-a₃，0，a₁，,…，0)^T， p_n=(-a_n，0，0，…，a₁)^T．

解析

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