设α1=(a1,a2,a3)T,α2=(b1,b2,b3)T,α3=(c1,c2,c3)T,α4=(d1,d2,d3)T,则三平面 a1x+b1y+c1z=d1, a2x+b2y+c2z=d2, a3x+b3y+c3z=d3 相交于一条直线的充分必要条件是

admin2018-10-12  72

问题 设α1=(a1,a2,a3)T,α2=(b1,b2,b3)T,α3=(c1,c2,c3)T,α4=(d1,d2,d3)T,则三平面
a1x+b1y+c1z=d1
a2x+b2y+c2z=d2
a3x+b3y+c3z=d3
相交于一条直线的充分必要条件是(    ).

选项 A、r(α1,α2,α3,α4)=r(α1,α2,α3)
B、r(α1,α2,α3,α4)=r(α1,α2,α3)=2
C、r(α1,α2,α3,α4)=r(α1,α2,α3)=3
D、r(α1,α2,α3)=2,且α1,α2,α3,α4线性相关

答案B

解析 选项B,三平面相交于一条直线,等价于由三平面方程联立的方程组

有无穷多解,且通解表达式为空间直线方程η=ξ0+Cξ1,其中ξ0为方程组的一个特解,ξ1为导出组的一个基础解系,由此知r(α1,α2,α3,α4)=r(α1,α2,α3)=2,故选B.
选项A,由r(α1,α2,α3,α4)=r(α1,α2,α3)知α4可以被α1,α2,α3线性表示,即平面之间有交点,但不能具体确定交点集的特征.
选项C,由r(α1,α2,α3,α4)=r(α1,α2,α3)=3知方程组有唯一解,即平面相交于一点.
选项D,由α1,α2,α3,α4线性相关及r(α1,α2,α3)=2,不能说明α4可以被α1,α2,α3线性表示,即方程组不一定有解,也即平面未必有公共交点.
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