设A是n阶正交矩阵，λ是A的实特征值，α是相应的特征向量．证明λ只能是±1，并且α也是AT的特征向量．

admin2016-10-20 41

问题设A是n阶正交矩阵，λ是A的实特征值，α是相应的特征向量．证明λ只能是±1，并且α也是A^T的特征向量．

选项

答案按特征值定义，对于Aα=λα，经转置得 α^TA^T=(Aα)^T=(Aα)^T=λα^T，因为A^TA=E，从而 α^Tα=α^TA^TAα=(λα^T)(λα)=λ²α^Tα，则 (1-λ²)α^Tα=0．因为α是实特征向量，α^Tα=x₁²+x₂²+…+x_n²＞0，可知λ²=1，由于λ是实数，故只能是1或-1．若λ=1，从Aα=α，两边左乘A^T，得到A^Tα=A^TAα=α，即α是A^T关于λ=1的特征向量．

解析

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