设曲线积分∫Lyf(x)dx+[f(x)一x2]dy与路径无关，其中f(x)可导’且f(0)=1，求∫01xf(x)dx．

admin2020-09-23 26

问题设曲线积分∫_Lyf(x)dx+[f(x)一x²]dy与路径无关，其中f(x)可导’且f(0)=1，求∫₀¹xf(x)dx．

选项

答案因为曲线积分∫_Lyf(x)dx+[f(x)一x²]dy与路径无关，所以[*]即f’(x)一2x=f(x)，于是f’(x)一f(x)=2x，[f’(x)一f(x)]e^-x=2xe^-x，即[f(x)e^-x]’=2xe^-x，等式两边对x积分，得 f(x)e^-x=∫2xe^-xdx=一2xe^-x一2e^-x+C，由f(0)=1，得C=3，所以f(x)=3e^x一2x一2．故∫₀¹xf(x)dx=∫₀¹(3xe^x一2x²一2x)dx=[*]

解析

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考研数学一

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