在P3中，求由基ε1，ε2，ε3，到基η1，η2，η3的过渡矩阵，其中并求ξ=（x1，x2，x3）在η1，η2，η3下的坐标。问是否存在一非零向量ζ，它在基ε1，ε2，ε3和基η1，η2，η3下有相同的坐标。若存在，求出该向量的坐标；若不存在，说明理由

admin2018-06-07 30

问题在P³中，求由基ε₁，ε₂，ε₃，到基η₁，η₂，η₃的过渡矩阵，其中

并求ξ=（x₁，x₂，x₃）在η₁，η₂，η₃下的坐标。问是否存在一非零向量ζ，它在基ε₁，ε₂，ε₃和基η₁，η₂，η₃下有相同的坐标。若存在，求出该向量的坐标；若不存在，说明理由。

选项

答案(η₁，η₂，η₃)=(ε₁，ε₂，ε₃)[*]=(ε₁，ε₂，ε₃)A，这里 [*] 即为所求由基ε₁，ε₂，ε₃到基η₁，η₂，η₃的过渡矩阵。将上式两边右乘A^—1，得 (ε₁，ε₂，ε₃)=(η₁，η₂，η₃)A^—1，于是ξ=(ε₁，ε₂，ε₃)[*]=(η₁，η₂，η₃)A^—1[*]，所以向量ξ在基(η₁，η₂，η₃)下的坐标为A^—1[*]，其中A^—1计算如下： [*] 设ζ在两组基下的坐标为(y₁，y₂，y₃)，则 ζ=(ε₁，ε₂，ε₃)[*]=（η₁，η₂，η₃）[*]=(ε₁，ε₂，ε₃)[*] 有齐次线性方程组[*]=—2≠0．即方程组只有零解。所以不存在一非零向量ζ，它在基ε₁，ε₂，ε₃和基η₁，η₂，η₃下有相同的坐标。

解析

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