2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内二阶可导，且f(0)＝f(1)＝∫01f(x)dx 证明：方程f(x)＝∫01f(x)dx在(0，1)内至少有一个实根；

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内二阶可导，且f(0)＝f(1)＝∫01f(x)dx 证明：方程f(x)＝∫01f(x)dx在(0，1)内至少有一个实根；

admin2022-06-09  65
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内二阶可导，且f(0)＝f(1)＝∫01f(x)dx
证明：方程f(x)＝∫01f(x)dx在(0，1)内至少有一个实根；
选项
答案证 令F(x)＝∫0xf(t)dt，则在[0，1]上对F(x)应用拉格朗日中值定理， 可知至少存在一点ζ1∈(0，1)，使得 F’(ζ1)＝F(1)－F(0)/1－0＝F(1)＝∫01f(x)dx， 即f(ξ1)＝∫01f(x)dx
解析
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考研数学二

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