设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内二阶可导，且f(0)＝f(1)＝∫01f(x)dx 证明：方程f(x)＝∫01f(x)dx在(0，1)内至少有一个实根；

admin2022-06-09 73

问题设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内二阶可导，且f(0)＝f(1)＝∫₀¹f(x)dx
证明：方程f(x)＝∫₀¹f(x)dx在(0，1)内至少有一个实根；

选项

答案证令F(x)＝∫₀^xf(t)dt，则在[0，1]上对F(x)应用拉格朗日中值定理，可知至少存在一点ζ₁∈(0，1)，使得 F’(ζ₁)＝F(1)－F(0)/1－0＝F(1)＝∫₀¹f(x)dx，即f(ξ₁)＝∫₀¹f(x)dx

解析

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考研数学二

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