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设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且证明: (I)存在c∈(0,1),使得f(c)=0; (Ⅱ)存在ξ∈(0,1),使得f"(ξ)=f(ξ); (Ⅲ)存在η∈(0,1),使得f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0.
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且证明: (I)存在c∈(0,1),使得f(c)=0; (Ⅱ)存在ξ∈(0,1),使得f"(ξ)=f(ξ); (Ⅲ)存在η∈(0,1),使得f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0.
admin
2017-12-18
58
问题
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且
证明:
(I)存在c∈(0,1),使得f(c)=0;
(Ⅱ)存在ξ∈(0,1),使得f"(ξ)=f(ξ);
(Ⅲ)存在η∈(0,1),使得f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0.
选项
答案
[*] f(0)=0,f’
+
(0)=1,f(1)=0,f’
-
(1)=2. 由f’
+
(0)>0,存在x
1
∈(0,1),使得f(x
1
)>f(0)=0; 由f’
-
(1)>0,存在x
2
∈(0,1),使得f(x
2
)<f(1)=0. 因为f(x
1
)f(x
2
)<0,所以由零点定理,存在c∈(0,1),使得f(c)=0. (Ⅱ)令h(x)=e
x
f(x),因为f(0)=f(c)=f(1)=0,所以h(0)=h(c)=h(1)=0,由罗尔定理,存在ξ
1
∈(0,c),ξ
2
∈(c,1),使得h’(ξ
1
)=h’(ξ
2
)=0,而h’(x)=e
x
[f(x)+f’(x)]且e
x
≠0,所以f(ξ
1
)+f’(ξ
1
)=0,f(ξ
2
)+f’(ξ
2
)=0. 令φ(x)=e
-x
[f(x)+f’(x)],因为φ(ξ
1
)=φ(ξ
2
)=0,所以存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](0,1),使 得φ’(ξ)=0,而φ’(x)=e
-x
[f"(x)一f(x)]且e
-x
≠0,于是f"(ξ)=f(ξ). (Ⅲ)令h(x)=e
-x
f(x),因为f(0)=f(c)=f(1)=0,所以h(0)=h(c)=h(1)=0. 由罗尔定理,存在η
1
∈(0,c),η
2
∈(c,1),使得h’(η
1
)=h’(η
2
)=0,而 h’(x)=e
-x
[f’(x)一f(x)]且e
-x
≠0, 所以f’(η
1
)一f(η
1
)=0,f’(η
2
)一f(η
2
)=0. 令φ(x)=e
-2x
[f’(x)一f(x)],因为φ(η
1
)=φ(η
2
)=0,所以存在η∈(η
1
,η
2
)[*](0,1),使得φ’(η)=0,而φ’(x)=e
-2x
[f"(x)一3f’(x)+2f(x)]且e
-2x
≠0,于是 f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0.
解析
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考研数学一
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