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  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且证明： (I)存在c∈(0，1)，使得f(c)=0； (Ⅱ)存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=f(ξ)； (Ⅲ)存在η∈(0，1)，使得f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0．

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且证明： (I)存在c∈(0，1)，使得f(c)=0； (Ⅱ)存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=f(ξ)； (Ⅲ)存在η∈(0，1)，使得f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0．

admin2017-12-18  34
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且证明：
(I)存在c∈(0，1)，使得f(c)=0；
(Ⅱ)存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=f(ξ)；
(Ⅲ)存在η∈(0，1)，使得f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0．
选项
答案[*] f(0)=0，f’+(0)=1，f(1)=0，f’-(1)=2． 由f’+(0)＞0，存在x1∈(0，1)，使得f(x1)＞f(0)=0； 由f’-(1)＞0，存在x2∈(0，1)，使得f(x2)＜f(1)=0． 因为f(x1)f(x2)＜0，所以由零点定理，存在c∈(0，1)，使得f(c)=0． (Ⅱ)令h(x)=exf(x)，因为f(0)=f(c)=f(1)=0，所以h(0)=h(c)=h(1)=0，由罗尔定理，存在ξ1∈(0，c)，ξ2∈(c，1)，使得h’(ξ1)=h’(ξ2)=0，而h’(x)=ex[f(x)+f’(x)]且ex≠0，所以f(ξ1)+f’(ξ1)=0，f(ξ2)+f’(ξ2)=0． 令φ(x)=e-x[f(x)+f’(x)]，因为φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，所以存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](0，1)，使 得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e-x[f"(x)一f(x)]且e-x≠0，于是f"(ξ)=f(ξ)． (Ⅲ)令h(x)=e-xf(x)，因为f(0)=f(c)=f(1)=0，所以h(0)=h(c)=h(1)=0． 由罗尔定理，存在η1∈(0，c)，η2∈(c，1)，使得h’(η1)=h’(η2)=0，而 h’(x)=e-x[f’(x)一f(x)]且e-x≠0， 所以f’(η1)一f(η1)=0，f’(η2)一f(η2)=0． 令φ(x)=e-2x[f’(x)一f(x)]，因为φ(η1)=φ(η2)=0，所以存在η∈(η1，η2)[*](0，1)，使得φ’(η)=0，而φ’(x)=e-2x[f"(x)一3f’(x)+2f(x)]且e-2x≠0，于是 f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0．
解析
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