首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且证明: (I)存在c∈(0,1),使得f(c)=0; (Ⅱ)存在ξ∈(0,1),使得f"(ξ)=f(ξ); (Ⅲ)存在η∈(0,1),使得f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0.
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且证明: (I)存在c∈(0,1),使得f(c)=0; (Ⅱ)存在ξ∈(0,1),使得f"(ξ)=f(ξ); (Ⅲ)存在η∈(0,1),使得f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0.
admin
2017-12-18
69
问题
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且
证明:
(I)存在c∈(0,1),使得f(c)=0;
(Ⅱ)存在ξ∈(0,1),使得f"(ξ)=f(ξ);
(Ⅲ)存在η∈(0,1),使得f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0.
选项
答案
[*] f(0)=0,f’
+
(0)=1,f(1)=0,f’
-
(1)=2. 由f’
+
(0)>0,存在x
1
∈(0,1),使得f(x
1
)>f(0)=0; 由f’
-
(1)>0,存在x
2
∈(0,1),使得f(x
2
)<f(1)=0. 因为f(x
1
)f(x
2
)<0,所以由零点定理,存在c∈(0,1),使得f(c)=0. (Ⅱ)令h(x)=e
x
f(x),因为f(0)=f(c)=f(1)=0,所以h(0)=h(c)=h(1)=0,由罗尔定理,存在ξ
1
∈(0,c),ξ
2
∈(c,1),使得h’(ξ
1
)=h’(ξ
2
)=0,而h’(x)=e
x
[f(x)+f’(x)]且e
x
≠0,所以f(ξ
1
)+f’(ξ
1
)=0,f(ξ
2
)+f’(ξ
2
)=0. 令φ(x)=e
-x
[f(x)+f’(x)],因为φ(ξ
1
)=φ(ξ
2
)=0,所以存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](0,1),使 得φ’(ξ)=0,而φ’(x)=e
-x
[f"(x)一f(x)]且e
-x
≠0,于是f"(ξ)=f(ξ). (Ⅲ)令h(x)=e
-x
f(x),因为f(0)=f(c)=f(1)=0,所以h(0)=h(c)=h(1)=0. 由罗尔定理,存在η
1
∈(0,c),η
2
∈(c,1),使得h’(η
1
)=h’(η
2
)=0,而 h’(x)=e
-x
[f’(x)一f(x)]且e
-x
≠0, 所以f’(η
1
)一f(η
1
)=0,f’(η
2
)一f(η
2
)=0. 令φ(x)=e
-2x
[f’(x)一f(x)],因为φ(η
1
)=φ(η
2
)=0,所以存在η∈(η
1
,η
2
)[*](0,1),使得φ’(η)=0,而φ’(x)=e
-2x
[f"(x)一3f’(x)+2f(x)]且e
-2x
≠0,于是 f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/3rr4777K
0
考研数学一
相关试题推荐
证明:r(A)=r(ATA).
设向量组(Ⅰ)α1,α2,α3;(Ⅱ)α1,α2,α3,α4;(Ⅲ)α1,α2,α3,α5,若向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)的秩为3,而向量组(Ⅲ)的秩为4.证明:向量组α1,α2,α3,α5一α4的秩为4.
求幂级数的和函数.
设L为从点A(0,一1,1)到点B(1,0,2)的直线段,则=__________。
设φ1(x),φ2(x),φ3(x)为二阶非齐次线性方程y"+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解,则该方程的通解为().
假设总体X在区间[0,θ]上服从均匀分布,X1,X2,…,Xn是来自X的简单随机样本,试求:(1)端点θ的最大似然估计量;(2)端点θ的0.95置信区间.
已知曲线y=y(x)经过点(1,e-1),且在点(x,y)处的切线方程在y轴上的截距为xy,求该曲线方程的表达式.
微分方程的通解为_________.
求微分方程的通解.
设由方程φ(bz一cy,cx一az,ay一bx)=0(*)确定隐函数z=z(x,y),其中φ对所有变量有连续偏导数,a,b,c为非零常数,且bφ1’一aφ2’≠0,求
随机试题
关于证券投资基金监管机构职能的制度,下列说法错误的是()。
家族や近くの友達に話しても誰も信用してくれなかったので、急いで私のところまで訪ねてきた________。
选择正确的________是塑造文化组织文化的首要战略问题。
哪项不是肺内恶性肿块的特点
砌块砌筑时,应符合错缝搭接的原则,搭接长度应()。
房地产经纪人是指依法取得房地产经纪人执业资格并实际从事房地产经纪活动的人员,他的性质和工作范围以及有关执业的规定,具体有哪几方面。根据我国有关规定,房地产经纪人必须以()的名义从事经纪活动。
下列职权中不属于税务机关职权的是( )。
账户的四个金额要素分别是______、______、______、______。
是社会公德最基本的要求,是维护公共生活秩序的重要条件的是()。
Naturallytheyoungaremoreinclinedtonoveltythantheireidersanditisintheirspeech,asitalwayswas,thatmostofthe
最新回复
(
0
)