设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX经过正交变换化为标准形f=2y2一y2一y2，又A*α=α，其中a一(1，1，一1)T． (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY，二次型f(x1，x2，x3)=XTAX化为标准

admin2017-02-28 58

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX经过正交变换化为标准形f=2y²一y²一y²，又A^*α=α，其中a一(1，1，一1)^T．
(Ⅰ)求矩阵A；
(Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY，二次型f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX化为标准形．

选项

答案(Ⅰ)显然A的特征值为λ₁=2，λ₂=一1，λ₃=一1，｜A｜=2，伴随矩阵A^*的特征值为μ₁=1，μ₂=一2，μ₃=一2．由A^*α=α得AA^*α=Aα，即Aα=2α，即α=(1，1，一1)^T是矩阵A的对应于特征值λ₁=2的特征向量．令ξ=(x₁，x₂，x₃)T为矩阵A的对应于特征值λ₂=一1，λ₃=一1的特征向量，因为A为实对称矩阵，所以α^Tξ=0，即x₁+x₂—x₃=0，于是λ₂=一1，λ₃=一1对应的线性无关的特征向量为 [*]

解析

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考研数学一

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设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX经过正交变换化为标准形f=2y2一y2一y2，又A*α=α，其中a一(1，1，一1)T． (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY，二次型f(x1，x2，x3)=XTAX化为标准

考研数学一

设非负连续型随机变量X服从指数分布，证明对任意实数r和S，有P{X>r+s|X>s}=P{X>r}．

设函数f(x)在[a，b]上连续，且在(a，b)内有fˊ(x)＞0．证明：在(a，b)内存在唯一的ε，使曲线y＝f(x)与两直线y＝f(ε)，x＝a所围平面图形面积s1是曲线y＝f(x)与两直线y＝f(ε)，x＝b所围平面图形面积S2的3倍．

(1)设f(x)在R上有定义，证明：y＝f(x)的图形关于直线x＝1对称的充要条件是f(x)满足f(x+1)＝f(1－x)，x∈R(2)设f(x)在R上有定义，且y＝f(x)的图形关于直线x＝1与直线x＝2对称，证明：f(x)是周期函数，并求f(x

设f(x)在(a，b)内是严格下凸函数，证明对任何x1，x2∈(a，b)，x1＜x＜x2，有不等式成立．

设A=E-ξξT，其中层为n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：A2=A的充要条件是ξTξ=1；

设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是________.

A是n阶矩阵，且A3＝0，则()．

设A为n阶矩阵，满足AAT=E(E为n阶单位阵，AT是A的转置矩阵)，丨A丨

设A是m×n矩阵，B是，n×m矩阵，则

在三效顺流蒸发大生产中，二效压力升高，则意味着()加热室结垢，需要进行清洗。

A、正黏病毒科B、剐黏病毒科C、小RNA病毒科D、呼肠病毒科E、冠状病毒科SARS病毒属于

对某酒店内的自动喷水灭火系统检测的下列结果，不符合《自动喷水灭火系统施工及验收规范》(GB50261)的是()。

下列关于房产税的说法中，正确的是（）。

在特别任务法的培训任务中，委员会或初级董事会是为()提供的。

市场体系的三大支柱是()。

小明1995年的年龄是他出生那年的年份的数字之和。问：小明1995年多少岁?()

似动是指在一定的时间和空间条件下，人们在静止的物体间看到了运动，或者在没有连续位移的地方，看到了连续位移。　　根据上述定义，下列选项不属于似动现象的是：

下列地理现象与太阳活动无关的是()。

AttheentrancetoabigofficeinLondon,therewasapieceofpaperwhichallmenhadtowritenamesonwhentheyarrivedeach

设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX经过正交变换化为标准形f=2y2一y2一y2，又A*α=α，其中a一(1，1，一1)T． (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY，二次型f(x1，x2，x3)=XTAX化为标准

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(1)设f(x)在R上有定义，证明：y＝f(x)的图形关于直线x＝1对称的充要条件是f(x)满足f(x+1)＝f(1－x)，x∈R(2)设f(x)在R上有定义，且y＝f(x)的图形关于直线x＝1与直线x＝2对称，证明：f(x)是周期函数，并求f(x

设f(x)在(a，b)内是严格下凸函数，证明对任何x1，x2∈(a，b)，x1＜x＜x2，有不等式成立．

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A是n阶矩阵，且A3＝0，则()．

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设A是m×n矩阵，B是，n×m矩阵，则

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