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设函数p(x)和f(x)在x∈[0,+∞)上连续,且p(x)=a>0,|f(x)|≤b,a和b均为常数.试证:微分方程+p(x)y=f(x)的一切解在x∈[0,+∞)上皆有界.
设函数p(x)和f(x)在x∈[0,+∞)上连续,且p(x)=a>0,|f(x)|≤b,a和b均为常数.试证:微分方程+p(x)y=f(x)的一切解在x∈[0,+∞)上皆有界.
admin
2017-07-26
92
问题
设函数p(x)和f(x)在x∈[0,+∞)上连续,且
p(x)=a>0,|f(x)|≤b,a和b均为常数.试证:微分方程
+p(x)y=f(x)的一切解在x∈[0,+∞)上皆有界.
选项
答案
考察初值问题[*]+p(x)y=f(x), y(0)=y
0
. 对于固定的y
0
,由方程可得相应的特解. 对于任意的y
0
,可得方程的一切解 [*] 由于[*]p(x)=a>0,故由函数极限的保号性:存在M>0,使得x>M时, [*] 故一切解|y(x)|在x∈[0,+∞)上皆有界.
解析
因函数p(x)和f(x)均未具体给出,则用一阶线性微分方程的通解公式(一般是用不定积分表示的)是无法讨论其性质的,故应当用变上限的定积分来表示其通解,以便讨论其性质.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/3uH4777K
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考研数学三
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