2. 考研
  3. 设函数p(x)和f(x)在x∈[0，+∞)上连续，且p(x)=a＞0，｜f(x)｜≤b，a和b均为常数．试证：微分方程+p(x)y=f(x)的一切解在x∈[0，+∞)上皆有界．

设函数p(x)和f(x)在x∈[0，+∞)上连续，且p(x)=a＞0，｜f(x)｜≤b，a和b均为常数．试证：微分方程+p(x)y=f(x)的一切解在x∈[0，+∞)上皆有界．

admin2017-07-26  106
问题 设函数p(x)和f(x)在x∈[0，+∞)上连续，且p(x)=a＞0，｜f(x)｜≤b，a和b均为常数．试证：微分方程+p(x)y=f(x)的一切解在x∈[0，+∞)上皆有界．
选项
答案考察初值问题[*]+p(x)y=f(x)， y(0)=y0． 对于固定的y0，由方程可得相应的特解． 对于任意的y0，可得方程的一切解 [*] 由于[*]p(x)=a＞0，故由函数极限的保号性：存在M＞0，使得x＞M时， [*] 故一切解｜y(x)｜在x∈[0，+∞)上皆有界．
解析 因函数p(x)和f(x)均未具体给出，则用一阶线性微分方程的通解公式(一般是用不定积分表示的)是无法讨论其性质的，故应当用变上限的定积分来表示其通解，以便讨论其性质．
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考研数学三

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