设。对(Ⅰ)中的任意向量ξ2，ξ3，证明：ξ1，ξ2，ξ3线性无关。

admin2018-04-12 39

问题设

。
对(Ⅰ)中的任意向量ξ₂，ξ₃，证明：ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关。

选项

答案由题设可得Aξ₁=0。设存在数k₁，k₂，k₃，使得 k₁ξ₁+k₂ξ₂+k₃ξ₃=0， (1) 等式两端左乘A，得k₂Aξ₂+k₃Aξ₃=0，即 k₂ξ₁+k₃Aξ₃=0， (2) 等式两端再左乘A，得k₃A²ξ₃=0，即k³ξ₁=0。由于ξ₁≠0，于是k₃=0，代入(2)式，得k₂ξ₁=0，故k₂=0。将k₂=k₃=0代入(1)式，可得k₁=0，从而ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关。

解析利用前面的结果，直接说明向量组ξ₁，ξ₂，ξ₃满秩，或是运用向量组线性无关的定义、结合前面的条件证明。

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