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  3. 设f(x)在(－∞，a)内可导，f′(x)=β＜0．=α＞0， 求证：f(x)在(－∞，a)内至少有一个零点．

设f(x)在(－∞，a)内可导，f′(x)=β＜0．=α＞0， 求证：f(x)在(－∞，a)内至少有一个零点．

admin2016-10-26  52
问题 设f(x)在(－∞，a)内可导，f′(x)=β＜0．=α＞0，  求证：f(x)在(－∞，a)内至少有一个零点．
选项
答案由极限的不等式性质，[*]δ＞0，当x∈[a－δ，a)时[*]＞0，即f(x)＜0，也就有f(a－δ)＜0．[*]x0＜a－δ，当x≤x0时f′(x)≤[*]＜0．于是由微分中值定理知，当x＜x0，[*]ξ∈(x，x0)使得 f(x)=f(x0)+f′(ξ)(x－x0)≥f(x0)+[*](x－x0)， 由此可得[*]f(x)=+∞． [*]x1＜a－δ使得f(x1)＞0．在[x1，a－δ]上应用连续函数零点存在性定理，f(x)在(x1，a－δ)上至少存在一个零点．
解析 只需由所给条件证明：x1，x2，使得f(x1)＞0，f(x2)＜0即可．由＞0确定x＜a，x靠近a时f(x)的符号，要根据极限的不等式性质来判断．由f′(x)=β＜0确定x＜0，｜x｜充分大时f(x)的符号，要应用微分中值定理(联系函数和它的导数)．
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考研数学一

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