设二次型f（x1，x2，x3）=ax12+ax22+（a—1）x32+2x1x3—2x2x3。（Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值。

admin2017-01-21 42

问题设二次型f（x₁，x₂，x₃）=ax₁²+ax₂²+（a—1）x₃²+2x₁x₃—2x₂x₃。
（Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值；
（Ⅱ）若二次型f的规范形为y₁²+y₂²，求a的值。

选项

答案（Ⅰ）二次型的矩阵为 [*] =（λ—a）[（λ—a）（λ—a+1）—2] =（λ—a）（λ—a+2）（λ—a—1），所有特征值是λ₁=a，λ₂=a—2，λ₃=a+1。（Ⅱ）若规范形为y₁²+y₂²，说明有两个特征值为正，一个为0。则由于a—2＜a＜a+1，所以a—2=0，即a=2。

解析

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考研数学三

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