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设χOy平面第一象限中有曲线г:y=y(χ),过点A(0,-1),y′(χ)>0.又M(χ,y)为г上任意一点,满足:弧段的长度与点M处г的切线在χ轴上的截距之差为-1. (Ⅰ)导出y=y(χ)满足的积分、微分方程; (Ⅱ)导出y(χ)满足
设χOy平面第一象限中有曲线г:y=y(χ),过点A(0,-1),y′(χ)>0.又M(χ,y)为г上任意一点,满足:弧段的长度与点M处г的切线在χ轴上的截距之差为-1. (Ⅰ)导出y=y(χ)满足的积分、微分方程; (Ⅱ)导出y(χ)满足
admin
2017-11-21
81
问题
设χOy平面第一象限中有曲线г:y=y(χ),过点A(0,
-1),y′(χ)>0.又M(χ,y)为г上任意一点,满足:弧段
的长度与点M处г的切线在χ轴上的截距之差为
-1.
(Ⅰ)导出y=y(χ)满足的积分、微分方程;
(Ⅱ)导出y(χ)满足的微分方程和初始条件;
(Ⅲ)求曲线г的表达式.
选项
答案
(Ⅰ)先求出г在点M(χ,y)处的切线方程 Y-y(χ)=y′(χ)(X-χ), 其中(X,Y)是切线上点的坐标.在切线方程中令Y=0,得χ轴上的截距 [*] 又弧段[*]的长度为[*],按题意得 [*] 这是y(χ)满足的积分、微分方程. (Ⅱ)两边对χ求导,就可转化为二阶微分方程: [*] 又由条件及①式中令χ=0得 y(0)=[*]-1,y′(0)=1. 因此得y(χ)满足的二阶微分方程的初值问题 [*] 问题①与②是等价的. (Ⅲ)下面求解②.这是不显含χ的二阶方程,作变换P=y′,并以y为自变量得 [*] 由y=[*]-1时 [*] 将上面两式相减 [*] 再积分得χ=[*]+C, 其中C=[*].则③就是所求曲线г的表达式.
解析
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考研数学二
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