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  3. 判别级数(p＞0)的收敛性(包括绝对收敛或条件收敛)．

判别级数(p＞0)的收敛性(包括绝对收敛或条件收敛)．

admin2018-04-15  29
问题 判别级数(p＞0)的收敛性(包括绝对收敛或条件收敛)．
选项
答案为判断其是否绝对收敛，采用极限形式的比较判别法，由于 [*] 所以，当p＞1时，级数[*]绝对收敛；而当p≤1时，该级数不绝对收敛． 下面介绍几种方法讨论0＜p≤l时，是否条件收敛． 方法1°考察部分和Sn的极限是否存在．先考虑部分和数列的偶数项，即 [*] 亦即S2n＞[*]，这就说明{S2n}是单调递减有下界的，所以其极限存在，设[*]S2n=S．又由于[*]=S，亦即级数[*]的部分和数列收敛，所以该级数收敛．特别，这说明0n是单调下降趋于零的．于是，由莱布尼兹判别法知，新级数收敛．因为[*]→0(n→∞)，所以原级数收敛． 方法4°用泰勒公式((1+x)α=1+αx+o(x)，x→0)将一般项分解． [*] 于是当0＜p≤1时正项级数[*]cn收敛(绝对收敛)．因此原级数条件收敛．
解析 对于交错级数先要讨论其是否绝对收敛．这里un≥un+1不总是成立的，也就是说莱布尼兹判别法的条件不满足．这样，当其不是绝对收敛时，莱布尼兹判别法也不能使用，可考虑直接用定义讨论其收敛性或利用收敛级数的性质．
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考研数学一

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