如图3—4所示，曲线C方程为y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)．设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 ∫03(x+x)f’’’(x)dx．

admin2016-01-15 46

问题如图3—4所示，曲线C方程为y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线l₁与l₂分别是曲线C在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)．设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分
∫₀³(x+x)f’’’(x)dx．

选项

答案由图形知，f(0)=0，f’(0)=2；f(3)=2，f’(3)=一2，f"(3)=0．由分部积分，知 ∫₀³(3(x²+x)f’’’(x)dx=∫₀³(x²+x)df"(x) =(x²+x)f"(x)｜₀³一∫₀³f"(x)(2x+1)dx =一∫₀³(2x+1)df’(x) =一(2x+1)f’(x)｜∫₀³+2∫₀³f’(x)dx=20．

解析

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考研数学一

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设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，求证：(1)存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)+ξf’(ξ)=0；(2)存在η∈(a，b)，使ηf(η)+f’(η)=0．
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