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在第一卦限内作椭球面的切平面,使得该切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积最小,求该切平面的切点,并求此最小体积.
在第一卦限内作椭球面的切平面,使得该切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积最小,求该切平面的切点,并求此最小体积.
admin
2023-03-22
17
问题
在第一卦限内作椭球面
的切平面,使得该切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积最小,求该切平面的切点,并求此最小体积.
选项
答案
设切点坐标为M(x
0
,y
0
,z
0
),F(x,y,z)=[*]-1,则 n=(F’
x
,F’
y
,F’
z
)=[*] 因此过M点的切面方程为 [*](x-x
0
)+[*](y-y
0
)+[*](z-z
0
)=0, 即 [*] 于是切平面在三个坐标轴上的截距依次为a
2
/x
0
,b
2
/y
0
,c
2
/z
0
.切平面与三个坐标轴所围成的四面体体积为[*]的条件下求[*]的最小值,即求函数xyz的最大值.构造拉格朗日函数 L(x,y,z,λ)=xyz+λ[*] 则 [*] (1)×x+(2)×y+(3)×z并代入(4)得 [*] 解得唯一可能极值点[*]由问题的性质知,所求切点为最小值点[*],四面体的最小值为[*]
解析
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考研数学三
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