2. 考研
  3. 在第一卦限内作椭球面的切平面，使得该切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积最小，求该切平面的切点，并求此最小体积．

在第一卦限内作椭球面的切平面，使得该切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积最小，求该切平面的切点，并求此最小体积．

admin2023-03-22  20
问题 在第一卦限内作椭球面的切平面，使得该切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积最小，求该切平面的切点，并求此最小体积．
选项
答案设切点坐标为M(x0，y0，z0)，F(x，y，z)=[*]-1，则 n=(F’x，F’y，F’z)=[*] 因此过M点的切面方程为 [*](x-x0)+[*](y-y0)+[*](z-z0)=0， 即 [*] 于是切平面在三个坐标轴上的截距依次为a2／x0，b2／y0，c2／z0．切平面与三个坐标轴所围成的四面体体积为[*]的条件下求[*]的最小值，即求函数xyz的最大值．构造拉格朗日函数 L(x，y，z，λ)=xyz+λ[*] 则 [*] (1)×x+(2)×y+(3)×z并代入(4)得 [*] 解得唯一可能极值点[*]由问题的性质知，所求切点为最小值点[*]，四面体的最小值为[*]
解析
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考研数学三

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