在第一卦限内作椭球面的切平面，使得该切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积最小，求该切平面的切点，并求此最小体积．

admin2023-03-22 19

问题在第一卦限内作椭球面

的切平面，使得该切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积最小，求该切平面的切点，并求此最小体积．

选项

答案设切点坐标为M(x₀，y₀，z₀)，F(x，y，z)=[*]-1，则 n=(F’_x，F’_y，F’_z)=[*] 因此过M点的切面方程为 [*](x-x₀)+[*](y-y₀)+[*](z-z₀)=0，即 [*] 于是切平面在三个坐标轴上的截距依次为a²／x₀，b²／y₀，c²／z₀．切平面与三个坐标轴所围成的四面体体积为[*]的条件下求[*]的最小值，即求函数xyz的最大值．构造拉格朗日函数 L(x，y，z，λ)=xyz+λ[*] 则 [*] (1)×x+(2)×y+(3)×z并代入(4)得 [*] 解得唯一可能极值点[*]由问题的性质知，所求切点为最小值点[*]，四面体的最小值为[*]

解析

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考研数学三

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在第一卦限内作椭球面的切平面，使得该切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积最小，求该切平面的切点，并求此最小体积．

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