2. 考研
  3. (98年)设y=f(x)是区间[0，1]上任一非负连续函数． (1)试证存在x0∈(0，1)，使得在区间在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形的面积等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲面的曲边梯形的面积． (2)又设f(x)在(0，1)上可导，且

(98年)设y=f(x)是区间[0，1]上任一非负连续函数． (1)试证存在x0∈(0，1)，使得在区间在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形的面积等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲面的曲边梯形的面积． (2)又设f(x)在(0，1)上可导，且

admin2018-07-27  89
问题 (98年)设y=f(x)是区间[0，1]上任一非负连续函数．
(1)试证存在x0∈(0，1)，使得在区间在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形的面积等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲面的曲边梯形的面积．
(2)又设f(x)在(0，1)上可导，且f’(x)＞，证明(1)中的x0是唯一的．
选项
答案令φ(x)=一x∫01f(t)dt，则ψ(x)在[0，1]上满足罗尔定理的条件．则存在x0∈(0，1)，使ψ’(x0)=0．即 x.f(x0)一∫x01f(t)dt=0 又 φ"(x)=xf’(x)+2f(x)＞0．则上式中的x0是唯一的．
解析
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考研数学二

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