已知四阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为四维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α2=2α2-α3，若β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．

admin2016-05-31 31

问题已知四阶方阵A=(α₁，α₂，α₃，α₄)，α₁，α₂，α₃，α₄均为四维列向量，其中α₂，α₃，α₄线性无关，α₂=2α₂-α₃，若β=α₁+α₂+α₃+α₄，求线性方程组Ax=β的通解．

选项

答案因为α₂，α₃，α₄线性无关和α₁=2α₂-α₃，可知，向量组的秩r(α₁，α₂，α₃，α₄)=3，即矩阵A的秩为3．因此Ax=0的基础解系中只有一个向量．则由 [*] 知，Ax=0的基础解系是(1，-2，1，0)^T 又因β=α₁+α₂+α₃+α₄=(α₁，α₂，α₃，α₄)，[*]则(1，1，1，1)^T是Ax=β的一个特解．因此Ax=β的通解是k[*]，其中k为任意常数．

解析

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考研数学三

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已知四阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为四维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α2=2α2-α3，若β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．

考研数学三

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