设f(x)二阶可导,且∫0xf(t)dt+∫0xtf(x—t)dt=x+1,求f(x)

admin2017-08-31  39

问题 设f(x)二阶可导,且∫0xf(t)dt+∫0xtf(x—t)dt=x+1,求f(x)

选项

答案0xtf(x—t)dt=[*]x∫0xf(μ)dμ-∫0xμf(μ)dμ=x∫0xf(t)dt—∫0xtf(t)dt, ∫0xf(t)dt+∫0xtf(x—t)dt=x+1化为∫0xf(t)dt+x∫0xf(t)dt—∫0xtf(t)dt=x+1,两边求导得f(x)+∫0xf(t)dt=1,两边再求导得f(x)+f(x)=0,解得f(x)=Ce-x, 因为f(0)=1,所以C=1,故f(x)=e-x

解析
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