2. 考研
  3. 已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出：x=t+e－t，y=2t+e－2t(t≥0)． (Ⅰ) 证明该参数方程确定连续函数y=y(x)，x∈[1，+∞)． (Ⅱ) 证明y=y(x)在[1，+∞)单调上升且是凸的． (Ⅲ) 求y=y

已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出：x=t+e－t，y=2t+e－2t(t≥0)． (Ⅰ) 证明该参数方程确定连续函数y=y(x)，x∈[1，+∞)． (Ⅱ) 证明y=y(x)在[1，+∞)单调上升且是凸的． (Ⅲ) 求y=y

admin2015-05-07  112
问题 已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出：x=t+e－t，y=2t+e－2t(t≥0)．
    (Ⅰ) 证明该参数方程确定连续函数y=y(x)，x∈[1，+∞)．
    (Ⅱ)  证明y=y(x)在[1，+∞)单调上升且是凸的．
    (Ⅲ)  求y=y(x)的渐近线．
选项
答案(Ⅰ)因为x’t=1－e－t>0(t>0)，x’t(0)=0[*]x=t+e－t在[0，+∞)单调上升，值域为[1，+∞)．[*]x=t+e－t在[0，+∞)存在反函数，记为t=t(x)，它在[1，+∞)连续(单调连续函数的反函数连续)．再由连续的复合函数的连续性[*]y=2t(x)+e－2t(x)[*]y(x)在[1，+∞)连续． (Ⅱ)由参数式求导法 [*] 于是y=y(x)在[1，+∞)单调上升．又 [*] 因此y=y(x)在[1，+∞)是凸的． (Ⅲ)x→+∞[*]t→+∞ [*] 又因y=y(x)在[1，+∞)连续，所以y=y(x)只有渐近线y=2x．
解析
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考研数学一

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