已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出:x=t+e-t,y=2t+e-2t(t≥0). (Ⅰ) 证明该参数方程确定连续函数y=y(x),x∈[1,+∞). (Ⅱ) 证明y=y(x)在[1,+∞)单调上升且是凸的. (Ⅲ) 求y=y

admin2015-05-07  77

问题 已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出:x=t+e-t,y=2t+e-2t(t≥0).
    (Ⅰ) 证明该参数方程确定连续函数y=y(x),x∈[1,+∞).
    (Ⅱ)  证明y=y(x)在[1,+∞)单调上升且是凸的.
    (Ⅲ)  求y=y(x)的渐近线.

选项

答案(Ⅰ)因为x’t=1-e-t>0(t>0),x’t(0)=0[*]x=t+e-t在[0,+∞)单调上升,值域为[1,+∞).[*]x=t+e-t在[0,+∞)存在反函数,记为t=t(x),它在[1,+∞)连续(单调连续函数的反函数连续).再由连续的复合函数的连续性[*]y=2t(x)+e-2t(x)[*]y(x)在[1,+∞)连续. (Ⅱ)由参数式求导法 [*] 于是y=y(x)在[1,+∞)单调上升.又 [*] 因此y=y(x)在[1,+∞)是凸的. (Ⅲ)x→+∞[*]t→+∞ [*] 又因y=y(x)在[1,+∞)连续,所以y=y(x)只有渐近线y=2x.

解析
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