设对于半空间x>0内任意的光滑有向封闭曲面∑,都有xf(x)dydz-xyf(x)dzdx-e2xzdxdy=0,其中函数f(x)在(0,+∞)内具有连续的一阶导数,且,求f(x)。

admin2017-01-14  29

问题 设对于半空间x>0内任意的光滑有向封闭曲面∑,都有xf(x)dydz-xyf(x)dzdx-e2xzdxdy=0,其中函数f(x)在(0,+∞)内具有连续的一阶导数,且,求f(x)。

选项

答案由题设和高斯公式得 [*] 其中Ω为∑围成的有界闭区域,±号对应曲面取外侧或内侧,由∑的任意性,知 xf’(x)+f(x)-xf(x)-e2x=0(x>0), 即 [*] 这是一阶线性非齐次微分方程,其通解为f(x)=[*](ex+C)。 即C+1=0,从而C=-1。 因此 [*]

解析
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