若函数f(x，y)对任意正实数t，满足 f(tx，ty)=tnf(x，y)， (7．12) 称f(x，y)为n次齐次函数．设f(x，y)是可微函数，证明：f(x，y)为n次齐次函数

admin2017-05-31 124

问题若函数f(x，y)对任意正实数t，满足
f(tx，ty)=tⁿf(x，y)， (7．12)
称f(x，y)为n次齐次函数．设f(x，y)是可微函数，证明：f(x，y)为n次齐次函数<=>

选项

答案设f(x，y)是n次齐次函数，按定义，得 f(tx，ty)=tⁿf(x，y)([*]t＞0)为恒等式．将该式两端对t求导，得 xf’₁(tx，ty)+yf’_{2/sub>(tx，ty)=nt^n－1f(x，y)([*]t＞0)，
令t=1，则xf’_x(x，y)+yf’_y(x，y)=nf(x，y)．
现设上式成立．考察φ(t)=[*]，由复合函数求导法则，可得
[*]}

解析

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