若函数f(x,y)对任意正实数t,满足 f(tx,ty)=tnf(x,y), (7.12) 称f(x,y)为n次齐次函数.设f(x,y)是可微函数,证明:f(x,y)为n次齐次函数

admin2017-05-31  72

问题 若函数f(x,y)对任意正实数t,满足
    f(tx,ty)=tnf(x,y),    (7.12)
称f(x,y)为n次齐次函数.设f(x,y)是可微函数,证明:f(x,y)为n次齐次函数<=>

选项

答案设f(x,y)是n次齐次函数,按定义,得 f(tx,ty)=tnf(x,y)([*]t>0)为恒等式.将该式两端对t求导,得 xf’1(tx,ty)+yf’2/sub>(tx,ty)=ntn-1f(x,y)([*]t>0), 令t=1,则xf’x(x,y)+yf’y(x,y)=nf(x,y). 现设上式成立.考察φ(t)=[*],由复合函数求导法则,可得 [*]

解析
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