2. 考研
  3. 二次型f(x1，x2，x3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)经过正交变换化为标准形f=y12+2y22+5y32，求参数a及所用的正交变换。

二次型f(x1，x2，x3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)经过正交变换化为标准形f=y12+2y22+5y32，求参数a及所用的正交变换。

admin2021-11-09  65
问题 二次型f(x1，x2，x3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)经过正交变换化为标准形f=y12+2y22+5y32，求参数a及所用的正交变换。
选项
答案二次型f的矩阵A=[*]。 根据题意可知，矩阵A的三个特征值分别为λ1=1，λ2=2，λ3=5，于是由｜A｜=λ1λ2λ3可得2(9—a2)=10，解得a=2或—2(舍)。 当λ1=1时，解齐次线性方程组(E—A)x=0，得基础解系为ξ1=(0，1，—1)T； 当λ2=2时，解齐次线性方程组(2E—A)x=0，得基础解系为ξ2=(1，0，0)T； 当λ3=5时，解齐次线性方程组(5E—A)x=0，得基础解系为ξ3=(0，1，1)T。 因为ξ1，ξ2，ξ3已经是正交向量组，故只需将ξ1，ξ2，ξ3单位化，于是得 [*] 则Q为正交矩阵，且在正交变换x=Qy下，有QTAQ=[*]。
解析
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考研数学二

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