设A是n阶矩阵，证明r(A*)＝

admin2016-10-21 52

问题设A是n阶矩阵，证明r(A^*)＝

选项

答案当r(A)＝n时，A可逆，从而A^*也可逆，秩为n．当r(A)＜n－1时，它的每个余子式M_ij(是n－1阶子式)都为0，从而代数余子式A_ij也都为0．于是A^*＝0，r(A^*)＝0．当r(A)＝n－1时，｜A｜＝0，所以AA^*＝0．于是r(A)＋r(A^*)≤n．由于r(A)＝n－1，得到r(A^*)≤1．又由r(A)＝n－1知道A有n－1阶非0子式，从而存在代数余子式A_hk不为0，于是A^*≠0，r(A^*)＞0．于是r(A^*)＝1．

解析

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