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  3. 设A是n阶矩阵，证明r(A*)＝

设A是n阶矩阵，证明r(A*)＝

admin2016-10-21  29
问题 设A是n阶矩阵，证明r(A*)＝
选项
答案当r(A)＝n时，A可逆，从而A*也可逆，秩为n． 当r(A)＜n－1时，它的每个余子式Mij(是n－1阶子式)都为0，从而代数余子式Aij也都为0．于是A*＝0，r(A*)＝0． 当r(A)＝n－1时，｜A｜＝0，所以AA*＝0．于是r(A)＋r(A*)≤n．由于r(A)＝n－1，得到r(A*)≤1． 又由r(A)＝n－1知道A有n－1阶非0子式，从而存在代数余子式Ahk不为0，于是A*≠0，r(A*)＞0．于是r(A*)＝1．
解析
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考研数学二

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