2. 考研
  3. x²+y²的最小值为2。 (1)实数x，y满足条件：x²-y²-8x+10＝0 (2)实数x，y是关于t的方程t²-2at+a+2＝0的两个实根

x²+y²的最小值为2。 (1)实数x，y满足条件：x²-y²-8x+10＝0 (2)实数x，y是关于t的方程t²-2at+a+2＝0的两个实根

admin2009-05-23  31
问题 x²+y²的最小值为2。
   (1)实数x，y满足条件：x²-y²-8x+10＝0
   (2)实数x，y是关于t的方程t²-2at+a+2＝0的两个实根
选项 A、条件(1)充分，但条件(2)不充分。
B、条件(2)充分，但条件(1)不充分。
C、条件(1)和条件(2)单独都不充分，但条件(1)和条件(2)联合起来充分。
D、条件(1)充分，条件(2)也充分。
E、条件(1)和(2)单独都不充分，条件(1)和条件(2)联合起来也不充分。
答案B
解析 由条件(1)，x2+y2＝x2+(x2-8x+10)＝2(x-2)2+2，表面看来当x＝2时，x2+y2有最小值2，但当x＝2时，22-y2-16+10＝0得y2＝-2，即y∈R，与条件不符，所以条件(1)不充分。
   由条件(2)，由根与系数的关系
     x2+y2＝(x+y)2-2xy
   ＝(2a)2-2(a+2)
   ＝4a2-2a-4
   ＝4(a-1/4)2-17/4
   因为方程有实根，所以
   △＝(2a)2-4(a+2)≥0，a∈(-∞，-1]∪[2，+∞)
   从而，当且仅当a＝-1时，x2+y2有最小值为2。
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