x²+y²的最小值为2。 (1)实数x,y满足条件:x²-y²-8x+10=0 (2)实数x,y是关于t的方程t²-2at+a+2=0的两个实根

admin2009-05-23  39

问题 x²+y²的最小值为2。
   (1)实数x,y满足条件:x²-y²-8x+10=0
   (2)实数x,y是关于t的方程t²-2at+a+2=0的两个实根

选项 A、条件(1)充分,但条件(2)不充分。
B、条件(2)充分,但条件(1)不充分。
C、条件(1)和条件(2)单独都不充分,但条件(1)和条件(2)联合起来充分。
D、条件(1)充分,条件(2)也充分。
E、条件(1)和(2)单独都不充分,条件(1)和条件(2)联合起来也不充分。

答案B

解析 由条件(1),x2+y2=x2+(x2-8x+10)=2(x-2)2+2,表面看来当x=2时,x2+y2有最小值2,但当x=2时,22-y2-16+10=0得y2=-2,即y∈R,与条件不符,所以条件(1)不充分。
   由条件(2),由根与系数的关系
     x2+y2=(x+y)2-2xy
   =(2a)2-2(a+2)
   =4a2-2a-4
   =4(a-1/4)2-17/4
   因为方程有实根,所以
   △=(2a)2-4(a+2)≥0,a∈(-∞,-1]∪[2,+∞)
   从而,当且仅当a=-1时,x2+y2有最小值为2。
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