设A,B为三阶相似矩阵,且|2E+A|=0,λ1=1,λ2=-1为B的两个特征值,则行列式|A+2AB|=___________。

admin2019-12-24  40

问题 设A,B为三阶相似矩阵,且|2E+A|=0,λ1=1,λ2=-1为B的两个特征值,则行列式|A+2AB|=___________。

选项

答案18

解析 由|2E+A|=(-1)3|-2E-A|=0,知|-2E-A|=0,故λ=-2为A的一个特征值。由于A~B,故A,B有相同特征值,因此B的三个特征值为λ1=-2,λ2=1,λ3=-1,则存在可逆矩阵P,使得P-1BP=。于是
P-1(E+2B)P=E+2P-1BP=E+2
因此|E+2B|=9,且|A|=λ1λ2λ3=2。故
|A+2AB|=|A(E+2B)|=|A|·|E+2B|=2·9=18。
本题考查矩阵相似的性质以及矩阵行列式的计算。
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