设A，B为三阶相似矩阵，且｜2E＋A｜＝0，λ1＝1，λ2＝－1为B的两个特征值，则行列式｜A＋2AB｜＝___________。

admin2019-12-24 67

问题设A，B为三阶相似矩阵，且｜2E＋A｜＝0，λ₁＝1，λ₂＝－1为B的两个特征值，则行列式｜A＋2AB｜＝___________。

选项

答案18

解析由｜2E＋A｜＝(－1)³｜－2E－A｜＝0，知｜－2E－A｜＝0，故λ＝－2为A的一个特征值。由于A～B，故A，B有相同特征值，因此B的三个特征值为λ₁＝－2，λ₂＝1，λ₃＝－1，则存在可逆矩阵P，使得P^－1BP＝

。于是
P^－1(E＋2B)P＝E＋2P^－1BP＝E＋2

＝

，
因此｜E＋2B｜＝9，且｜A｜＝λ₁λ₂λ₃＝2。故
｜A＋2AB｜＝｜A(E＋2B)｜＝｜A｜·｜E＋2B｜＝2·9＝18。
本题考查矩阵相似的性质以及矩阵行列式的计算。

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