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设A,B为三阶相似矩阵,且|2E+A|=0,λ1=1,λ2=-1为B的两个特征值,则行列式|A+2AB|=___________。
设A,B为三阶相似矩阵,且|2E+A|=0,λ1=1,λ2=-1为B的两个特征值,则行列式|A+2AB|=___________。
admin
2019-12-24
38
问题
设A,B为三阶相似矩阵,且|2E+A|=0,λ
1
=1,λ
2
=-1为B的两个特征值,则行列式|A+2AB|=___________。
选项
答案
18
解析
由|2E+A|=(-1)
3
|-2E-A|=0,知|-2E-A|=0,故λ=-2为A的一个特征值。由于A~B,故A,B有相同特征值,因此B的三个特征值为λ
1
=-2,λ
2
=1,λ
3
=-1,则存在可逆矩阵P,使得P
-1
BP=
。于是
P
-1
(E+2B)P=E+2P
-1
BP=E+2
=
,
因此|E+2B|=9,且|A|=λ
1
λ
2
λ
3
=2。故
|A+2AB|=|A(E+2B)|=|A|·|E+2B|=2·9=18。
本题考查矩阵相似的性质以及矩阵行列式的计算。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/4mD4777K
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考研数学三
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