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  3. 已知函数f(x)=x-alnx(a∈R) (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点A(1f(1))处的切线方程； (2)求函数f(x)的极值。

已知函数f(x)=x-alnx(a∈R) (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点A(1f(1))处的切线方程； (2)求函数f(x)的极值。

admin2015-08-13  91
问题 已知函数f(x)=x-alnx(a∈R)
    (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点A(1f(1))处的切线方程；
    (2)求函数f(x)的极值。
选项
答案函数F(x)的定义域为(0，+∞)[*]。 (1)当a=2时f(x)=x-21nx，[*]， 因而f(1)=1，f′(1)=-1， 所以曲线y=f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1)， 即x+y-2=0。 (2)由[*]，x＞0知： ①当0≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)为(0，+∞)上的增函数，函数f(x)无极值。 ②当a＞0时，由f′(x)=0，解得x=a。 又当x∈(0，a)时f′(x)＜0；当戈∈(0，+∞)时f′(x)＞0， 从而函数f(x)在x=a处取得极小值，且极小值为f(a)=a-alna，无极大值。 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值； 当a>0时，函数f(x)在x=a处取得极小值a-alna，无极大值。
解析
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