设f（x，y）＝，求f（x，y）的极值及其在x2＋y2≤16上的最大值．

admin2020-03-08 8

问题设f（x，y）＝

，求f（x，y）的极值及其在x²＋y²≤16上的最大值．

选项

答案根据题意可得[*] 解得x₁＝0，x₂＝2，y₁＝0，y₂＝2．即共有4个极值可疑点：(0，0)，(0，2)，(2，0)，(2，2)．又因为[*] 则在点(0，0)处，B²－AC＝0－(－6)×(－6)＝－36＜0且A＝－6＜0．所以点(0，0)是一个极大值点且极大值为f(0，0)＝0．同理，f(2，2)＝－8是一个极小值；而f(0，2)与f(2，0)不是极值．由上面讨论可知，f(x，y)在闭域D上的最大值，若在D内达到，必是在(0，0)点取得，但也可能在D的边界上，故建立拉格朗日函数．令[*] 则有[*] 解得：x＝0，y＝4或x＝4，y＝0或[*] 因此f(x，y)在D上的最大值为[*]

解析【思路探索】先求出函数f(x，y)在区域D：x²＋y²≤16内的极值可疑点(x_i，y_i)(i＝1，2，…，m)；再利用极值的充分判别法判断每个点是否为极值点，若是极值点，则求出对应的极值；最后由拉格朗日乘数法求得f(x，y)在D的边界上的可疑极值，将以上所得函数值进行比较，便可得到结果．

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考研数学一

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