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已知A是m×n矩阵,m<n.证明:AAT是对称阵,并且AAT正定的充要条件是r(A)=m.
已知A是m×n矩阵,m<n.证明:AAT是对称阵,并且AAT正定的充要条件是r(A)=m.
admin
2019-02-26
59
问题
已知A是m×n矩阵,m<n.证明:AA
T
是对称阵,并且AA
T
正定的充要条件是r(A)=m.
选项
答案
由(AA
T
)
T
=(A
T
)
T
A
T
=AA
T
,所以AA
T
是对称阵. 必要性 若AA
T
正定,r(AA
T
)=m≤r(A),又r(A
m×n
)≤m,故r(A)=m. 充分性 若r(A)=m,则齐次方程组A
T
X=0只有零解,故对任意X≠0,均有A
T
X≠0,故 X
T
AA
T
X=(A
T
X)
T
(A
T
X)>0, 即AA
T
正定.
解析
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考研数学一
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