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若函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内具有二阶导数,f(0)=f(1)=0,f″(x)<0,且f(x)在[0,1]上的最大值为M.求证: 自然数n,存在唯一的xn∈(0,1),使得f′(xn)=.
若函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内具有二阶导数,f(0)=f(1)=0,f″(x)<0,且f(x)在[0,1]上的最大值为M.求证: 自然数n,存在唯一的xn∈(0,1),使得f′(xn)=.
admin
2019-01-29
101
问题
若函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内具有二阶导数,f(0)=f(1)=0,f″(x)<0,且f(x)在[0,1]上的最大值为M.求证:
自然数n,存在唯一的x
n
∈(0,1),使得f′(x
n
)=
.
选项
答案
由题设知存在x
M
∈(0,1)使得f(x
M
)=M>0. 方法: 先证[*]是f′(x)的某一中间值.因f′(x
M
)=0,由拉格朗日中值定理,存在ξ
n
∈(0,x
M
)使得 [*] 这里f′(x)在[ξ
n
,x
M
]连续,再由连续函数中间值定理→存在x
n
∈(ξ
n
,x
M
)[*](0,1),使得f′(x
n
)=[*] 最后再证唯一性.由f″(x)<0(x∈(0,1))→f′(x)在(0,1)单调减少→在区间(0,1)内f′(x)=[*]的点是唯一的,即x
n
.
解析
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考研数学二
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