2. 考研
  3. 若函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，f″(x)＜0，且f(x)在[0，1]上的最大值为M．求证： 自然数n，存在唯一的xn∈(0，1)，使得f′(xn)=．

若函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，f″(x)＜0，且f(x)在[0，1]上的最大值为M．求证： 自然数n，存在唯一的xn∈(0，1)，使得f′(xn)=．

admin2019-01-29  106
问题 若函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，f″(x)＜0，且f(x)在[0，1]上的最大值为M．求证：
自然数n，存在唯一的xn∈(0，1)，使得f′(xn)=．
选项
答案由题设知存在xM∈(0，1)使得f(xM)=M＞0． 方法： 先证[*]是f′(x)的某一中间值．因f′(xM)=0，由拉格朗日中值定理，存在ξn∈(0，xM)使得 [*] 这里f′(x)在[ξn，xM]连续，再由连续函数中间值定理→存在xn∈(ξn，xM)[*](0，1)，使得f′(xn)=[*] 最后再证唯一性．由f″(x)＜0(x∈(0，1))→f′(x)在(0，1)单调减少→在区间(0，1)内f′(x)=[*]的点是唯一的，即xn．
解析
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考研数学二

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