设函数f(x)有连续导数，F(x)=∫0xf(t)f’(2a一t)dt，证明： F(2a)一2F(a)=f2(a)一f(0)f(2a)．

admin2016-06-25 84

问题设函数f(x)有连续导数，F(x)=∫₀^xf(t)f’(2a一t)dt，证明：
F(2a)一2F(a)=f²(a)一f(0)f(2a)．

选项

答案F(2a)一2F(a)=∫₀^2af(t)f(2a一t)dt一2∫₀^2af(t)f’(2a一t)dt =∫₀^2af(t)f’(2a一t)dt—∫₀^2af(t)f’(2a—t)dt，其中∫_a^2af(t)f’(2a一t)dt=f²(a)一f(0)f(2a)+∫_a^2af(2a一t)f’(t)dt，所以 F(2a)一2F(a)=f²(a)一f(0)f(2a)+∫_a^2af(2a—t)f’(t)dt—∫₀^af(t)f’(2a一t)dt，又∫_a^2af(2a一t)f’(t)dt[*]∫₀^af(u)f’(2a一u)du=∫₀^af(t)f’(2a一t)dt，所以， F(2a)一2F(a)=f²(a)一f(0)f(2a)．

解析

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考研数学二

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